1. 审题开局：目标证明 \( 24 \mid (p^2 - 1) \)，已知 \( p \) 为大于 3 的素数。
2. 因式落子：\( p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1) \)。这是两个相邻偶数的乘积。
3. 整除 8 验证：质数 \( p > 3 \) 必为奇数，令 \( p = 2k + 1 \)，则 \( (p-1)(p+1) = 4k(k+1) \)。相邻整数必有一偶数，故必被 8 整除。
4. 整除 3 验证：连续三整数 \( p-1, p, p+1 \) 必有其一为 3 的倍数。因 \( p \) 为质数且大于 3，故 \( 3 \nmid p \)，必有 \( 3 \mid (p-1)(p+1) \)。
5. 综合因数：\(\gcd(3, 8) = 1\)，故必被 24 整除。
在 DeepSeek网页版入口 提供的在线交互中，我们直接将命题转化为因式结构，给出完整数学证明：
// 定理证明形式化表达 (Formal Logic Proof)
Theorem: For any prime p > 3, 24 | (p² - 1).
Factorization: p² - 1 = (p - 1)(p + 1).
Condition 1: 8 | (p² - 1) holds because p is odd (4k(k+1)).
Condition 2: 3 | (p² - 1) holds because 3 does not divide prime p.
Conclusion: Since gcd(3, 8) = 1, 24 | (p² - 1). Q.E.D.
命题成立：\( p^2 - 1 \) 必然能够被 24 整除。
追问：如果将条件放宽至 \( p \) 与 6 互质的任意正整数，上述结论是否依然完全成立？
回溯思考与严格解答：结论依然完全成立！
只要正整数 \( p \) 与 6 互质，即意味 \( 2 \nmid p \) 且 \( 3 \nmid p \)。
1. 因为 \( 2 \nmid p \)，说明 \( p \) 为奇数，同样有 \( 8 \mid (p - 1)(p + 1) \)；
2. 因为 \( 3 \nmid p \)，三连续整数中必有 \( p-1 \) 或 \( p+1 \) 能被 3 整除；
因此只需满足 \(\gcd(p, 6) = 1\)，即使 \( p \) 不是质数（例如 \( p = 25, 35, 49 \) 等合数），\( p^2 - 1 \) 依旧必然能被 24 整除。
